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知識技能

1．了解勾股定理的逆定理的證明方法和證明過程,；

2．理解互逆命題、互逆定理,、勾股數(shù)的概念及互逆命題之間的關(guān)系,；

3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形,；

4．會運(yùn)用勾股定理的逆定理解決相關(guān)實(shí)際問題．

數(shù)學(xué)思考

1．通過“創(chuàng)設(shè)情景—建立模型—實(shí)驗(yàn)探究—理論釋意—拓展應(yīng)用”的勾股定理的逆定理的探索過程,，經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展,、形成和應(yīng)用的過程,；

2．通過三角形三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷三角形的形狀，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用．

解決問題

通過勾股定理的逆定理的證明及其應(yīng)用,，體會數(shù)形結(jié)合法在問題解決中的作用,，并能運(yùn)用勾股定理的逆定理解決相關(guān)問題．

情感態(tài)度

1．通過三角形三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷三角形的形狀，體驗(yàn)數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系,，感受定理與逆定理之間的關(guān)系,；

2．在探究勾股定理的逆定理的證明及應(yīng)用的活動中，通過一系列富有探究性的問題,，滲透與他人交流,、合作的意識和探究精神．

重點(diǎn)

勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．

難點(diǎn)

勾股定理的逆定理的證明．

教學(xué)流程安排

活動流程圖

活動內(nèi)容和目的

活動1：動手實(shí)踐，猜想命題．

活動2：探索歸納,，證明命題．

活動3：嘗試運(yùn)用,，熟悉定理．

活動4：建構(gòu)模型，拓展應(yīng)用．

活動5：類比模仿,，鞏固新知．

活動6：小結(jié)梳理,，內(nèi)化新知．

通過擺放、畫三角形,，并結(jié)合觀察,、歸納、猜想等一系列探究性活動,，得出勾股定理的逆命題．

通過特殊到一般的探索,、歸納過程，得到勾股定理的逆定理證法，并結(jié)合勾股定理的逆定理與勾股定理之間的關(guān)系,，理解互逆命題（定理）的概念．

通過課本例1的求解,，掌握勾股定理的逆定理及其運(yùn)用的步驟．

將實(shí)際問題（課本例2）數(shù)學(xué)化，并利用勾股定理的逆定理去解決實(shí)際問題,，感受勾股定理的逆定理在日常生活中的廣泛應(yīng)用．

通過練習(xí),，進(jìn)一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．

反思、總結(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容,，內(nèi)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

問題與情景

師生行為

設(shè)計(jì)意圖

[活動1]

實(shí)踐

1．把準(zhǔn)備好的一根打了13個等距離結(jié)的繩子,，按3個結(jié)、4個結(jié),、5個結(jié)的長度為邊擺放成一個三角形,，請觀察并說出此三角形的形狀？

2．分別以2.5cm,、6cm、6.5cm和4cm,、7.5cm,、8.5cm為三邊畫出兩個三角形，請觀察并說出此三角形的形狀,？

3．結(jié)合三角形三邊長度的平方關(guān)系,，你能猜一猜三角形的三邊長度與三角形的形狀之間有怎樣的關(guān)系嗎？

學(xué)生分組活動,，動手操作,，并在組內(nèi)進(jìn)行交流、討論的基礎(chǔ)上,，作出實(shí)踐性預(yù)測．

教師深入小組參與活動,，并幫助、指導(dǎo)部分學(xué)生完成任務(wù),，得出勾股定理的逆命題．在此基礎(chǔ)上,，介紹：古埃及和我國古代大禹治水都是用這種方法來確定直角的．

在活動1中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：

（1）學(xué)生在活動中的參與意識和動手能力；

（2）是否清楚三角形的三邊長度的平方關(guān)系是因,，直角三角形是果,，即先有數(shù)，后有形．

（3）數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法及歸納能力．

通過動手實(shí)踐,、介紹數(shù)學(xué)史,，在a686964616fe58685e5aeb對學(xué)生進(jìn)行動手能力培養(yǎng)和數(shù)學(xué)史教育的同時，體驗(yàn)數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系,，自然地得出勾股定理的逆命題．

[活動2]

問題

1．三邊長度分別為3 cm,、4 cm、5 cm的三角形與以3 cm、4 cm為直角邊的直角三角形之間有什么關(guān)系,？你是怎樣得到的,？

2．你能證明以2.5cm、6cm,、6.5cm為三邊長的三角形是直角三角形嗎,？

3．如圖18.2-2，若△ABC的三邊長,、,、滿足，試證明△ABC是直角三角形,，請簡要地寫出證明過程．

4．此定理與勾股定理之間有怎樣的關(guān)系,？

5．教材84頁練習(xí)題2．

學(xué)生結(jié)合活動1的體驗(yàn)，獨(dú)立思考問題1,，通過小組交流,、討論，完成問題2．在此基礎(chǔ)上,，說出問題3的證明思路．

教師提出問題,，并適時誘導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生完成問題3的證明．之后,，歸納得出勾股定理的逆定理．在此基礎(chǔ)上,，類比定理與逆定理的關(guān)系，介紹逆命題（定理）的概念,，并與學(xué)生一起完成問題5．

在活動2中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：

（1）學(xué)生能否聯(lián)想到了“‘全等’,，進(jìn)而設(shè)法構(gòu)造全等三角形”這一問題獲解的關(guān)鍵；

（2）學(xué)生在問題2中,，所表現(xiàn)出來的構(gòu)造直角三角形的意識,；

（3）是否真正地理解了AB=A/B/（如圖18.2-2）；

（4）數(shù)形結(jié)合的意識和由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,；

（5）能否準(zhǔn)確地找出一個命題的題設(shè)和結(jié)論．

變“命題+證明=定理”的推理模式為定理的發(fā)生,、發(fā)展、形成的探究過程,，把“構(gòu)造直角三角形”這一方法的獲取過程交給學(xué)生,，讓他們在不斷的嘗試、探究的過程中,，親身體驗(yàn)參與發(fā)現(xiàn)的愉悅,，有效地突破本節(jié)的難點(diǎn)．

通過比較勾股定理及其逆定理的題設(shè)和結(jié)論，引出互逆命題（定理）概念,，并通過問題5,，進(jìn)一步理解互逆命題（定理）的概念及互逆命題之間的關(guān)系．

[活動3]

問題

1．例1：判斷由線段,、、組成的三角形是不是直角三角形：

（1）,；

（2）．

2．教材84頁習(xí)題18.2第1題（1）,、（3）．

學(xué)生說出問題（1）的判斷思路，部分學(xué)生演板問題2,，剩下的學(xué)生在課堂作業(yè)本上完成．

教師板書問題1的詳細(xì)解答過程,，并糾正學(xué)生在練習(xí)中出現(xiàn)的問題，最后向?qū)W生介紹勾股數(shù)的概念．

在活動3中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：

（1）學(xué)生的解題過程是否規(guī)范,；

（2）是不是用兩條較小邊長的平方和與較大邊長的平方進(jìn)行比較,；

（3）是否理解了勾股數(shù)的概念，即勾股數(shù)必須滿足以下兩個條件：

①以三個數(shù)為邊長的三角形是直角三角形,；②三個數(shù)還必須是正整數(shù)．

進(jìn)一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其運(yùn)用,，理解勾股數(shù)的概念，突出本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)．

[活動4]

問題

例2：“遠(yuǎn)航”號,、“海天”號輪船同時離開港口,，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里,，“海天”號每小時航行12海里,，它們離開港口一個半小時后相距30海里．如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎,？

學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形（如圖18.2-3），并在教師的啟發(fā)下,，給出例2的解答過程．

教師與學(xué)生一起完成建模與轉(zhuǎn)化過程,，幫助、引導(dǎo)學(xué)生完成解答過程,，規(guī)范解題格式．

在活動4中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：

（1）圖形語言和符號語言的表述是否準(zhǔn)確,；

（2）知道三角形的三邊，應(yīng)用勾股定理逆定理去探究三角形形狀的意識,；

（3）是否清楚解應(yīng)用問題的三個基本過程：建立數(shù)學(xué)模型→求解數(shù)學(xué)模型→回到實(shí)際問題中去,；

（3）學(xué)生在解決實(shí)際問題中所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)情感與態(tài)度．

從實(shí)際生活中所遇到的問題出發(fā)，以本節(jié)的知識為載體建立數(shù)學(xué)模型,，在利用數(shù)學(xué)模型（勾股定理的逆定理）去解決實(shí)際問題,，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，有效的培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識．

[活動5]

1．練習(xí)：教材84頁練習(xí)題1,、3．

2．思考：教材85頁習(xí)題18.2第6題．

部分學(xué)生演板,，剩余學(xué)生在課堂練習(xí)本上獨(dú)立完成．

教師巡視，了解學(xué)生對知識的掌握情況．

在活動5中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：

（1）學(xué)生在練習(xí)中反映出的問題,，有針對性地講解,；

（2）學(xué)生能否熟練地應(yīng)用勾股定理的逆定理去分析和解決問題．

及時反饋教學(xué)效果,，查漏補(bǔ)缺．對學(xué)有困難的同學(xué)給予鼓勵和幫助．

設(shè)計(jì)一個思考題的目的是，延續(xù)探究性學(xué)習(xí)的時間與空間．

[活動6]

1．小結(jié)

2．作業(yè)：

（1）必做：教材84頁習(xí)題18．2第1題（2）,、（4）和第2,、3題；

（2）選作：教材85頁習(xí)題18．2第4,、5,、6題．

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶本節(jié)課所學(xué)的知識．

教師布置作業(yè)，學(xué)生按要求在課外完成．

在活動6中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：

（1）學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)是否清晰,；

（2）學(xué)生在作業(yè)中反映出的問題,，應(yīng)做好記載，找出教,、學(xué)之不足．

梳理學(xué)習(xí)內(nèi)容,，養(yǎng)成整理、系統(tǒng)知識的習(xí)慣．

加強(qiáng)教,、學(xué)反思,，進(jìn)一步提高教、學(xué)效果．

教學(xué)設(shè)計(jì)說明

本節(jié)課是安排在勾股定理之后,，主要內(nèi)容包括,，勾股定理的逆定理及其應(yīng)用、互逆命題（定理）及勾股數(shù)的概念,，其中前者是重點(diǎn),，勾股定理的逆定理的證明是難點(diǎn)．勾股定理的逆定理既是對直角三角形的再認(rèn)識，也是判斷一個三角形是不是直角三角形（確定直角）的一種重要方法,，除此以外,，它還是向?qū)W生滲透“數(shù)形結(jié)合”這一數(shù)學(xué)思想方法的很好素材．作為一種數(shù)學(xué)模型，它在日常生活中（比如,，測量等）也有著極其廣闊的應(yīng)用．

考慮到勾股定理逆定理與勾股定理的互逆關(guān)系,，在教學(xué)中，我們首先從勾股定理的反面出發(fā),，給出三組數(shù)據(jù),，讓學(xué)生通過擺、畫三角形的實(shí)踐,，并結(jié)合觀察,、歸納、猜想等一系列探究性活動,，得出勾股定理的逆命題．如何突破“勾股定理的逆定理的證明”這一教學(xué)難點(diǎn)呢,？我們又設(shè)計(jì)了一個由特殊到一般的探索、歸納過程,，來凸現(xiàn)“構(gòu)造直角三角形”這一問題轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．之后,，再不失時機(jī)地結(jié)合勾股定理的逆定理與勾股定理之間的關(guān)系,，介紹互逆命題（定理）的概念．對于勾股定理的逆定理應(yīng)用的教學(xué)，充分利用課本提供的兩道例題,，著眼于“雙基”和“應(yīng)用”這兩個層面,，來突出本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)．

本節(jié)課立足于創(chuàng)新和學(xué)生可持續(xù)發(fā)展，把教學(xué)內(nèi)容分解為一系列富有探究性的問題,，讓學(xué)生在解決問題的過程中經(jīng)歷知識的發(fā)生,、發(fā)展、形成的過程,，把知識的發(fā)現(xiàn)權(quán)交給學(xué)生,，讓他們在獲取知識的過程中，體驗(yàn)成功的喜悅,，真正體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人,，教師只是學(xué)習(xí)的參與者、合作者,、引導(dǎo)者．在重視基礎(chǔ)知識和基本技能的同時,，更關(guān)注知識的形成過程及應(yīng)用數(shù)學(xué)意識